Tugas PDM 5

Show that ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C)
Proof :
(i)Show that ( A∪B ) ∩ C ⊂ ( A∩C ) ∪ ( B∩C)
Take any X ∈ ( A∪B ) ∩ C
Obvious X ∈ ( A∪B ) ∩ C
⇔ X ∈ ( A∪B )∧ X ∈ C
⇔ ( X ∈ A ∨ X ∈ B )∧ X ∈ C (distributif)
⇔ (X ∈ A∧ X ∈ C) ∨ (X ∈ B ∧ X ∈ C)
⇔ X ∈ ( A ∩C ) ∨ X ∈ (B∩C)
⇔ X ∈ ( A ∩C ) ∪ ( B∩C)

We get for All X ∈ ( A ∪ B ) ∩ C then X ∈ ( A ∩C ) ∪ ( B∩C)
It means
(A ∪ B ) ∩ C ⊂ ( A ∩ C ) ∪ ( B∩C) . . . . . . . . . . . . . (1)

With the same way get (2)
From (1) and (2) we conclude that ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B∩ C) is true.
So, ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C)



Show that A ⊂ B if and only if ( A ∩ B ) = A
Proof :
(i)Show that A ⊂ B ⇒ (A ∩ B ) = A
We have A ⊂ B
It means ∀X ∈ A, X ∈ B
Show that A ⊂ (A ∩ B )
Take any X ∈ A
Obvious X ∈ A ∧ X ∈ A
⇔ X ∈ A∧ X ∈ B ( Because ∀ X ∈ A, X ∈ B )
⇔ X ∈ A ∩ B
We get for all X ∈ A then X ∈ A ∩ B
It means A ⊂ ( A ∩ B ) . . . . . . . . . . (1)

Take any X ∈ A ∩ B
Show that A ∩ B ⊂ A
Obvious X ∈ A ∩ B
⇔ X ∈ A ∧ X ∈ B
⇔ X ∈ A ( Simplifikasi )
We get for all X ∈ A ∩ B, X ∈ A
It means A ∩ B ⊂ A . . . . . . . . . . . . . (2)

From (1) and (2) we conclude that A ∩ B = A
So, if A ⊂ B then A ∩ B = A


Take any X ∈ A ∩ B
Show that A ∩ B ⊂ A
Andaikan A ∩ B ⊄ A
Maka ∃ X ∈ A ∩ B, akan tetapi X ∉ A
Maka X ∈ A ∩B∧ X ∈ Ac
⇔ (X ∈ A ∧ X ∈ B) ∧ X ∈ Ac (assosiatif)
⇔ X ∈ A X ∈ Ac∧ X ∈ B
⇔ X ∈ ∅ Λ X ∈ B
⇔ X ∈ (∅ ∩ B )
⇔ X ∈ ∅
Maka terjadi kontradiksi oleh sebab terdapat X ∈ A ∩ B dan X ∉ A berlaku X ∈ ∅
Jadi pengandaian ditolak
Jadi yang benar adalah A ∩ B ⊂ A

Tugas PDM 4

1. Show that A ∩ B = B ∩ A !

x ∈ A ∩ B

x ∈ A ∧ x ∈ B

x ∈ B ∩ A

so, A ∩ B ⊂ B ∩ A (komutatif) (i)

(ii)

x ∈ B ∩ A

x ∈ B ∧ x ∈ A

x ∈ A ∩ B

so, B ∩ A ⊂ A ∩ B (komutatif) (ii)

from (i) and (ii) we conclude that A ∩ B = B ∩ A

2. Show that (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C) !

x ∈ (A ∩ B) ∩ C

(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C

x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

x ∈ A ∩ (B ∩ C)

so, (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C) (Assosiatif)

(ii)

x ∈ A ∩ (B ∩ C)

x &isin ; A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

( x &isin ; A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C

x ∈ (A ∩ B) ∩ C

So, A ∩ (B ∩ C) ⊂ (A ∩ B) ∩ C (Assosiatif)

From (i) and (ii) we conclude that (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ∩)

oooo

Tugas PDM 3

Bukti kesahan silogisme

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ ( p ⇒ r )
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r )) (eks)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ ((˜q ∨ r) ⇒ ( ˜ p ∨ r )) (imp)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ ( ˜ ( ˜ q ∨ r) ∨ ( ˜ p ∨ r )) (imp)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ ˜ r ) ∨ ( ˜ p ∨ r )) (DM)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ ˜ r ) ∨ r ) ∨ ˜ p (kom, asso)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ r ) ∨ ( ˜ r ∨ r) ∨ ˜ p ) (dist)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ r ) ∨ T ∨ ˜ p (komp)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ r ) ∨ ˜ p ) (id)
≡ ( ˜ p ∨ q ) ⇒ ( q ∨ r ) ∨ ˜ p (imp)
≡ ˜ ( ˜ p ∨ q ) ⇒ ∨ ( q ∨ r ) ∨ ˜ p (imp)
≡ ˜ ( ˜ p ∨ q ) ∨ ( q ∨ ˜ p ) ∨ r (kom, asso)
≡ ˜ ( ˜ p ∨ q ) ∨ ( ˜ p ∨ q ) ∨ r (kom)
≡ T ∨ r (komp)
≡ T (id)

Bukti Kesahan Konstruktif Dilema (KD)

{ [(p ⇒ q ) ∧ ( r ⇒ s )] ∧ (p ∨ r) } ⇒ (q ∨ s)
≡ [(˜ p ∨ q) ∧ ( ˜ r ∨ s )∧ (p ∨ r)]⇒ (q ∨ s) (imp)
≡ [(p ∨ ˜ q) ∨ ( r∧ ˜ s) ∨ (˜ p∧ ˜ r)] ∨ (q ∨ s) (imp)
≡ [( p∧ ˜ q) ∨(˜ p ∧ ˜ r)∨(r∧ ˜ s)] ∨ (q∨s) (asso)
≡ [(p∧ ˜ q) ∨ (˜p∧ ˜ r)]∨[(r∧ ˜s) ∨ (q∨ s)] (asso)
≡ [{ p ∧ ˜ q) ∨ { ˜ p} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ ˜r}] ∨ [(r ∧ ˜ s) ∨ (q ∨ s)] (dis)
≡ [{ p ∧ ˜ q) ∨ ˜ p)} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ ˜ r }] ∨ [{(r ∧ ˜ s) ∨ s} ∨ q] (asso)
≡ [{ p∨ ˜ p) ∧ (˜q ∨ ˜p)} ∧ {(p ∨ ˜ r )}] ∧ (˜ q ∨ ˜ r)}] ∨ [{9r ∨ s) ∧ (˜ s ∨ s)} (dis)
≡ [{ T ∧ (˜ q ∨ ˜ p )} ∧ {(p ∨ ˜ r) ∧ (˜ q ∨ ˜ t)}] ∨ [{(r ∨ s) ∧ T} ∨ q] (komp)
≡ [{(˜q ∨ ˜ p) ∧ {( p ∨ ˜ r) ∧ ˜ q ∨ ˜ r)}] ∨ [( r ∨ s) ∨ q] (id)
≡ [{ (˜ q ∨ ˜ p) ∧ ( p ∨ ˜ r) ∧ ˜ q ∨ ˜ r)} ∨ q] ∨ {(r ∨ s )] (asso)
≡ [{( ˜ q ∨ ˜ p) ∨ q} ∧ {( p ∨ ˜ r) ∨ q} ∧ {(˜ q ∨ ˜ r) ∨ q}] ∨ [(r ∨ s)] (dis)
≡ [{( ˜ q ∨ q) ∨ ˜ p} ∧ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∧ {(˜ q ∨ q) ∨ ˜ r}] ∨ [(r ∨ s)] (asso)
≡ [(T ∨ ˜ p) ∧ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∧ (T ∨ ˜ r)] ∨ [( r ∨ s) (komp)
≡ [T ∧ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∧ T] ∨ [(r ∨ s)] (id)
≡ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∨ (r ∨ s) (id)
≡ ( r ∨ ˜ r) ∨ ( p ∨ q ∨ s) (asso)
≡ T ∨ (p ∨ q ∨ s) (komp)
≡ T (id)

Bukti kesahan Distruktif Silogisme

((p ∨ q) ∧ ˜ p) ⇒ q
≡ (p ∧ ˜ p) ∨ (q ∧ ˜ p) ⇒ q (dist)
≡ F ∨ (q ∧ ˜ p) ⇒ q (komp)
≡ (q ∧ ˜ p) ⇒ q (id)
≡ ˜ (q ∧ ˜ p) ∨ q (imp)
≡ (˜ q ∨ p) ∨ q (DM)
≡ (p ∨ ˜ q) ∨ q (kom)
≡ p∨ (˜ q ∨ q)(asso)
≡ p ∨ (q ∨ ˜q) (kom)
≡ p ∨ T (komp)
≡ T (id)

Bukti Kesahan Destruktif Dilema (DD)

P ⇒ q ∧ (r ⇒ s)
(˜ q ∨ ˜ s) / .’. (˜ p ∨ ˜ r)
≡ [{(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ∧ ( ˜ q ∨ ˜ s)} ⇒ (˜ p ∨ ˜ r) (imp)
[(˜ p ∨ q) ∧ (˜ r ∨ s) ∧ (˜ q ∨ ˜ s)] ⇒ (˜ p ∨ ˜ r) (imp)
≡ {(p ∧ ˜ q) ∨ (r ∧ ˜ s) ∨ (q ∧ s)] ∨ ( ˜ p ∨ ˜ r) (asso)
[(p ∧ ˜ q) ∨ (q ∧ s) ∨ (r ∧ ˜ s) ∨ (˜ p ∨ ˜ r) (asso)
≡ [{(p ∧ ˜ q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ˜ s) ∨ (˜ p ∨ ˜ r) (dis)
≡ [{(p ∧ ˜ q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ˜ s) ∨ ˜ r} ∨ ˜ p) (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∧ (˜ q ∨ q)} ∧ {(p ∨ s) ∧ (˜ q ∨ s)}] ∨ [{( r ∨ ˜ r) ∧ (˜ s ∨ ˜ r)} ∨ ˜ p] (dis)
≡ [{(p ∨ q) ∧ T} ∧ {(p ∨ s) ∧ (˜ q ∨ s)}] ∨ [{(T ∧ (˜ s ∨ ˜ r )} ∨ ˜ p] (komp)
≡ [(p ∨ q) ∧ p ∨ s) ∧ ˜ q ∨ s)] ∨ [(˜ s ∨ ˜ r) ∨ ˜ p] (id)
[(p ∨ q) ∧ p ∨ s) ∧ ˜ q ∨ s) ∨ ˜ p] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∨ ˜ p} ∧ {(p ∨ s) ∨ ˜ p} ∧ {(q ∨ s) ∨ ˜ p}] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (dis)
≡ [{(p ∨ ˜ p) ∨ q} ∧ {(p ∨ ˜p ) ∨ s} ∧ (q ∨ s ∨ ˜ p)] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (asso)
≡ [(T ∨ q) ∧ (T ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨ ˜ p)] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (komp)
≡ [T ∧ T ∧ (q ∨ s ∨ ˜ p)] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (id)
≡ (q ∨ s ∨ ˜ p) ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (id)
≡ (˜ s ∨ ˜ s) ∨ (˜ p ∨ q ∨ ˜ r) (asso)
≡ T ∨ (˜ p ∨ q ∨ ˜ r) (komp)
≡ T (id)

oooo

TUGAS PDM 2

A.

1. ( p ∧ q ) ⇒ r

Jika 1+2=3 dan 2+1=3 maka 3-1=2

Invers : ( ˜ p ∨ ˜ q ) ⇒ ˜ r

Jika 1+2≠3 atau 2+1≠3 maka 3-1≠2

Konvers : r ⇒ ( p ∧ q )

Jika 3-1=2 maka 1+2=3 dan 2+1=3

Kontraposisi : ˜ r ⇒ ( ˜ p ∨ ˜ q )

Jika 3-1≠2 maka 1+2≠3 atau 2+1≠3s

2. P ⇒ ( q ∧ r )

Jika sebentar lagi lebaran maka arus mudik padat dan di pinggir jalan ada posko mudik.

Invers : ˜ p ⇒ ( ˜ q ∨ ˜ r )

Jika tidak benar bahwa sebentar lagi lebaran maka arus mudik tidak padat atau di pinggir jalan tidak ada posko mudik.

Konvers : ( q ∧ r ) ⇒ p

Jika arus mudik padat dan di pinggir jalan banyak posko mudik maka sebentar lagi lebaran.

Kontraposisi : ( ˜ q ∨ ˜ r ) ⇒ ˜ p

Jika arus mudik tidak padat atau di pinggir jalan tidak ada posko mudik maka tidak benar bahwa sebentar lagi lebaran.

3. ˜ p ⇒ ( q ∧ ˜ r )

Jika bensin tidak habis maka mobil bisa jalan dan saya tidak terlambat.

Invers : p ⇒ ( ˜ q ∨ r )

Jika bensin habis maka mobil tidak bisa jalan atau saya terlambat.

Konvers : ( q ∧ ˜ r ) ⇒ ˜ p

Jika mobil bisa jalan dan saya tidak terlambat maka bensin tidak habis.

Kontraposisi : ( ˜ q ∨ r ) ⇒ p

Jika mobil tidak bisa jalan atau saya terlambat maka bensin habis.

4. ( p ∨ ˜ q ) ⇒ ( q ∧ r )

Jika p=1 atau x≠merah maka x=merah dan Budi suka bakso.

Invers : ( ˜ p ∧ q ) ⇒ ( ˜ q ∨ ˜ r )

Jika p≠1 dan x=merah maka x≠merah atau Budi tidak suka bakso.

Konvers : ( q ∧ r ) ⇒ ( p ∨ ˜ q )

Jika x=merah dan Budi suka bakso maka p=1 atau x≠merah.

Kontraposisi : ( ˜ q ∨ ˜ r ) ⇒ ( ˜ p ∧ q )

Jika x≠merah atau Budi tidak suka bakso maka p≠1 dan x=merah.

5. ( ˜ q ∧ ˜ r ) ⇒ ( ˜ p ∨ q )

Jika 2x≠5 dan segitiga ABC bukan segitiga siku-siku maka 1+y≠3 atau 2x=5

Invers : ( q ∨ r ) ⇒ ( p ∧ ˜ q )

Jika 2x=5 atau segitiga ABC adalah segitiga siku-siku maka 1+y=3 dan 2x≠5

Konvers : ( ˜ p ∨ q ) ⇒ ( ˜ q ∨ ˜ r )

Jika 1+y≠3 atau 2x=5 maka 2x≠5 dan segitiga ABC bukan segitiga siku-siku

Kontraposisi : ( p ∧ ˜ q ) ⇒ ( q ∧ r )

Jika 1+y=3 dan 2x≠5 maka 2x=5 atau segitiga ABC adalah segitiga siku-siku

6. ( q ∨ ˜ r ) ⇒ ( p ∧ r )

Jika gunung itu meletus atau x²≠9 maka beras harganya mahal dan x²=9

Invers : ( ˜ q ∧ r ) ⇒ ( ˜ p ∨ ˜ r )

Jika gunung itu tak meletus dan x²=9 maka beras harganya tidak mahal atau x²≠9

Konvers : ( p ∧ r ) ⇒ ( q ∨ ˜ r )

Jika harganya mahal dan x²=9 maka gunung itu meletus atau x²≠9

Kontraposisi : ( ˜ p ∨ ˜ r ) ⇒ ( ˜ q ∧ r )

Jika beras harganya tidak mahal atau x²≠9 maka gunung itu tak meletus dan x²=9

B.

1. Jika hasil produksi pangan melimpah maka harganya turun.

Konvers : Jika harga turun maka hasil produksi meningkat.

Invers : Jika hasil produksi tidak meningkat maka harga tidak turun.

Kontraposisi : Jika harga tidak turun maka hasil produksi tidak meningkat.

2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.

Konvers : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.

Kontraposisi : Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak.

3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.

Konvers : Jika ABCD segiempat maka ABCD bujur sangkar.

Invers : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.

Kontraposisi : Jika ABCD bukan segiempat maka ABCD bukan bujur sangkar.

4. Jika x>10 maka x²>100.

Konvers : Jika x²>100 maka x>10.

Invers : Jika x≤10 maka x²≤100.

Kontraposisi : Jika x²≤100 maka x≤10.

5. Jika x²-16=0 maka x=4 atau x=-4.

Konvers : Jika x=4 atau x-=-4 maka x²-16=0.

Invers : Jika x²-16≠0 maka x≠4 atau x≠-4.

Kontraposisi : jika x≠4 atau x≠-4 maka x²-16 ≠0.

6. Jika sinx=90°-cosx maka x merupakan sudut lancip.

Konvers : Jika x merupakan sudut lancip maka sinx=90°-cosx.

Invers : Jika sinx≠90°-cosx maka x bukan sudut lancip.

Kontraposisi : Jika x bukan sudut lancip maka sinx≠90°-cosx.

7. Jika tanx=1 maka x=135° dan x=315°.

Konvers : Jika x=135° dan x=315°maka tanx=-1.

Invers : Jika tanx≠-1 maka x≠135° dan x≠315°.

Kontraposisi : jika x≠135° dan x≠315° maka tan x ≠-1.

TUGAS PDM 1

KALIMAT PERNYATAAN

1. Surabaya adalah ibukota propinsi Jawa Timur.
2. 2+3=5
3. Chelsea adalah klub sepakbola dari Inggris.
4. India berada di benua Afrika.
5. 2 adalah bilangan prima.

KALIMAT TERBUKA

1.Perempuan itu cantik.
2.x+y+z=1
3.Lapangan itu sangat luas.
4.Anak itu sangat pintar.
5.Harga emas sangat mahal.

KALIMAT PERINTAH

1. Bersihkan meja itu!
2.Keluarkan buku tugasmu!
3. Bukalah pintu itu!
4. Carilah lima kalimat perintah!
5. Buatlah sepiring nasi goreng!

KALIMAT TANYA

1. Berapa lama dia tinggal di Jepang?
2. Dimana letak gedung D2?
3. Kapan kalian akan menikah?
4. Mengapa kita harus saling berbagi?
5. Bagaimana cara agar mendapatkan nilai bagus?

KALIMAT HARAPAN

1. Semoga kalian dapat mendapat hasil yang terbaik.
2. Kita berharap dapat masuk lima besar dalam kompetisi ini.
3. Kami ingin mengharumkan nama bangsa.
4. Semoga hari ini tidak hujan.
5. Mereka berharap mendapat hadiah dari orangtuanya.

KALIMAT FAKTUAL

1. Ada tujuh hari dalam seminggu.
2. Walikota Semarang adalah Sukawi Sutarip.
3. Kambing berkaki empat.
4. Gempa di Tasikmalaya berkekuatan 7,8 SR.
5. Tari Pendet berasal dari Bali.

1st entri

ihir..ihir punya blog baru buat tugas...
hehehehe