Tugas PDM 5

Show that ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C)
Proof :
(i)Show that ( A∪B ) ∩ C ⊂ ( A∩C ) ∪ ( B∩C)
Take any X ∈ ( A∪B ) ∩ C
Obvious X ∈ ( A∪B ) ∩ C
⇔ X ∈ ( A∪B )∧ X ∈ C
⇔ ( X ∈ A ∨ X ∈ B )∧ X ∈ C (distributif)
⇔ (X ∈ A∧ X ∈ C) ∨ (X ∈ B ∧ X ∈ C)
⇔ X ∈ ( A ∩C ) ∨ X ∈ (B∩C)
⇔ X ∈ ( A ∩C ) ∪ ( B∩C)

We get for All X ∈ ( A ∪ B ) ∩ C then X ∈ ( A ∩C ) ∪ ( B∩C)
It means
(A ∪ B ) ∩ C ⊂ ( A ∩ C ) ∪ ( B∩C) . . . . . . . . . . . . . (1)

With the same way get (2)
From (1) and (2) we conclude that ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B∩ C) is true.
So, ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C)



Show that A ⊂ B if and only if ( A ∩ B ) = A
Proof :
(i)Show that A ⊂ B ⇒ (A ∩ B ) = A
We have A ⊂ B
It means ∀X ∈ A, X ∈ B
Show that A ⊂ (A ∩ B )
Take any X ∈ A
Obvious X ∈ A ∧ X ∈ A
⇔ X ∈ A∧ X ∈ B ( Because ∀ X ∈ A, X ∈ B )
⇔ X ∈ A ∩ B
We get for all X ∈ A then X ∈ A ∩ B
It means A ⊂ ( A ∩ B ) . . . . . . . . . . (1)

Take any X ∈ A ∩ B
Show that A ∩ B ⊂ A
Obvious X ∈ A ∩ B
⇔ X ∈ A ∧ X ∈ B
⇔ X ∈ A ( Simplifikasi )
We get for all X ∈ A ∩ B, X ∈ A
It means A ∩ B ⊂ A . . . . . . . . . . . . . (2)

From (1) and (2) we conclude that A ∩ B = A
So, if A ⊂ B then A ∩ B = A


Take any X ∈ A ∩ B
Show that A ∩ B ⊂ A
Andaikan A ∩ B ⊄ A
Maka ∃ X ∈ A ∩ B, akan tetapi X ∉ A
Maka X ∈ A ∩B∧ X ∈ Ac
⇔ (X ∈ A ∧ X ∈ B) ∧ X ∈ Ac (assosiatif)
⇔ X ∈ A X ∈ Ac∧ X ∈ B
⇔ X ∈ ∅ Λ X ∈ B
⇔ X ∈ (∅ ∩ B )
⇔ X ∈ ∅
Maka terjadi kontradiksi oleh sebab terdapat X ∈ A ∩ B dan X ∉ A berlaku X ∈ ∅
Jadi pengandaian ditolak
Jadi yang benar adalah A ∩ B ⊂ A

Tugas PDM 4

1. Show that A ∩ B = B ∩ A !

x ∈ A ∩ B

x ∈ A ∧ x ∈ B

x ∈ B ∩ A

so, A ∩ B ⊂ B ∩ A (komutatif) (i)

(ii)

x ∈ B ∩ A

x ∈ B ∧ x ∈ A

x ∈ A ∩ B

so, B ∩ A ⊂ A ∩ B (komutatif) (ii)

from (i) and (ii) we conclude that A ∩ B = B ∩ A

2. Show that (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C) !

x ∈ (A ∩ B) ∩ C

(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C

x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

x ∈ A ∩ (B ∩ C)

so, (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C) (Assosiatif)

(ii)

x ∈ A ∩ (B ∩ C)

x &isin ; A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

( x &isin ; A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C

x ∈ (A ∩ B) ∩ C

So, A ∩ (B ∩ C) ⊂ (A ∩ B) ∩ C (Assosiatif)

From (i) and (ii) we conclude that (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ∩)

oooo

Tugas PDM 3

Bukti kesahan silogisme

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ ( p ⇒ r )
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r )) (eks)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ ((˜q ∨ r) ⇒ ( ˜ p ∨ r )) (imp)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ ( ˜ ( ˜ q ∨ r) ∨ ( ˜ p ∨ r )) (imp)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ ˜ r ) ∨ ( ˜ p ∨ r )) (DM)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ ˜ r ) ∨ r ) ∨ ˜ p (kom, asso)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ r ) ∨ ( ˜ r ∨ r) ∨ ˜ p ) (dist)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ r ) ∨ T ∨ ˜ p (komp)
≡ ( p ⇒ q ) ⇒ (( q ∨ r ) ∨ ˜ p ) (id)
≡ ( ˜ p ∨ q ) ⇒ ( q ∨ r ) ∨ ˜ p (imp)
≡ ˜ ( ˜ p ∨ q ) ⇒ ∨ ( q ∨ r ) ∨ ˜ p (imp)
≡ ˜ ( ˜ p ∨ q ) ∨ ( q ∨ ˜ p ) ∨ r (kom, asso)
≡ ˜ ( ˜ p ∨ q ) ∨ ( ˜ p ∨ q ) ∨ r (kom)
≡ T ∨ r (komp)
≡ T (id)

Bukti Kesahan Konstruktif Dilema (KD)

{ [(p ⇒ q ) ∧ ( r ⇒ s )] ∧ (p ∨ r) } ⇒ (q ∨ s)
≡ [(˜ p ∨ q) ∧ ( ˜ r ∨ s )∧ (p ∨ r)]⇒ (q ∨ s) (imp)
≡ [(p ∨ ˜ q) ∨ ( r∧ ˜ s) ∨ (˜ p∧ ˜ r)] ∨ (q ∨ s) (imp)
≡ [( p∧ ˜ q) ∨(˜ p ∧ ˜ r)∨(r∧ ˜ s)] ∨ (q∨s) (asso)
≡ [(p∧ ˜ q) ∨ (˜p∧ ˜ r)]∨[(r∧ ˜s) ∨ (q∨ s)] (asso)
≡ [{ p ∧ ˜ q) ∨ { ˜ p} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ ˜r}] ∨ [(r ∧ ˜ s) ∨ (q ∨ s)] (dis)
≡ [{ p ∧ ˜ q) ∨ ˜ p)} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ ˜ r }] ∨ [{(r ∧ ˜ s) ∨ s} ∨ q] (asso)
≡ [{ p∨ ˜ p) ∧ (˜q ∨ ˜p)} ∧ {(p ∨ ˜ r )}] ∧ (˜ q ∨ ˜ r)}] ∨ [{9r ∨ s) ∧ (˜ s ∨ s)} (dis)
≡ [{ T ∧ (˜ q ∨ ˜ p )} ∧ {(p ∨ ˜ r) ∧ (˜ q ∨ ˜ t)}] ∨ [{(r ∨ s) ∧ T} ∨ q] (komp)
≡ [{(˜q ∨ ˜ p) ∧ {( p ∨ ˜ r) ∧ ˜ q ∨ ˜ r)}] ∨ [( r ∨ s) ∨ q] (id)
≡ [{ (˜ q ∨ ˜ p) ∧ ( p ∨ ˜ r) ∧ ˜ q ∨ ˜ r)} ∨ q] ∨ {(r ∨ s )] (asso)
≡ [{( ˜ q ∨ ˜ p) ∨ q} ∧ {( p ∨ ˜ r) ∨ q} ∧ {(˜ q ∨ ˜ r) ∨ q}] ∨ [(r ∨ s)] (dis)
≡ [{( ˜ q ∨ q) ∨ ˜ p} ∧ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∧ {(˜ q ∨ q) ∨ ˜ r}] ∨ [(r ∨ s)] (asso)
≡ [(T ∨ ˜ p) ∧ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∧ (T ∨ ˜ r)] ∨ [( r ∨ s) (komp)
≡ [T ∧ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∧ T] ∨ [(r ∨ s)] (id)
≡ (p ∨ q ∨ ˜ r) ∨ (r ∨ s) (id)
≡ ( r ∨ ˜ r) ∨ ( p ∨ q ∨ s) (asso)
≡ T ∨ (p ∨ q ∨ s) (komp)
≡ T (id)

Bukti kesahan Distruktif Silogisme

((p ∨ q) ∧ ˜ p) ⇒ q
≡ (p ∧ ˜ p) ∨ (q ∧ ˜ p) ⇒ q (dist)
≡ F ∨ (q ∧ ˜ p) ⇒ q (komp)
≡ (q ∧ ˜ p) ⇒ q (id)
≡ ˜ (q ∧ ˜ p) ∨ q (imp)
≡ (˜ q ∨ p) ∨ q (DM)
≡ (p ∨ ˜ q) ∨ q (kom)
≡ p∨ (˜ q ∨ q)(asso)
≡ p ∨ (q ∨ ˜q) (kom)
≡ p ∨ T (komp)
≡ T (id)

Bukti Kesahan Destruktif Dilema (DD)

P ⇒ q ∧ (r ⇒ s)
(˜ q ∨ ˜ s) / .’. (˜ p ∨ ˜ r)
≡ [{(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ∧ ( ˜ q ∨ ˜ s)} ⇒ (˜ p ∨ ˜ r) (imp)
[(˜ p ∨ q) ∧ (˜ r ∨ s) ∧ (˜ q ∨ ˜ s)] ⇒ (˜ p ∨ ˜ r) (imp)
≡ {(p ∧ ˜ q) ∨ (r ∧ ˜ s) ∨ (q ∧ s)] ∨ ( ˜ p ∨ ˜ r) (asso)
[(p ∧ ˜ q) ∨ (q ∧ s) ∨ (r ∧ ˜ s) ∨ (˜ p ∨ ˜ r) (asso)
≡ [{(p ∧ ˜ q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ˜ s) ∨ (˜ p ∨ ˜ r) (dis)
≡ [{(p ∧ ˜ q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ˜ q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ˜ s) ∨ ˜ r} ∨ ˜ p) (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∧ (˜ q ∨ q)} ∧ {(p ∨ s) ∧ (˜ q ∨ s)}] ∨ [{( r ∨ ˜ r) ∧ (˜ s ∨ ˜ r)} ∨ ˜ p] (dis)
≡ [{(p ∨ q) ∧ T} ∧ {(p ∨ s) ∧ (˜ q ∨ s)}] ∨ [{(T ∧ (˜ s ∨ ˜ r )} ∨ ˜ p] (komp)
≡ [(p ∨ q) ∧ p ∨ s) ∧ ˜ q ∨ s)] ∨ [(˜ s ∨ ˜ r) ∨ ˜ p] (id)
[(p ∨ q) ∧ p ∨ s) ∧ ˜ q ∨ s) ∨ ˜ p] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∨ ˜ p} ∧ {(p ∨ s) ∨ ˜ p} ∧ {(q ∨ s) ∨ ˜ p}] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (dis)
≡ [{(p ∨ ˜ p) ∨ q} ∧ {(p ∨ ˜p ) ∨ s} ∧ (q ∨ s ∨ ˜ p)] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (asso)
≡ [(T ∨ q) ∧ (T ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨ ˜ p)] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (komp)
≡ [T ∧ T ∧ (q ∨ s ∨ ˜ p)] ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (id)
≡ (q ∨ s ∨ ˜ p) ∨ (˜ s ∨ ˜ r) (id)
≡ (˜ s ∨ ˜ s) ∨ (˜ p ∨ q ∨ ˜ r) (asso)
≡ T ∨ (˜ p ∨ q ∨ ˜ r) (komp)
≡ T (id)

oooo